Stochastik

Grundbegriffe

• Menge bzw. Ereignis \(A\) mit Elementen \(a, b, c\): \(A=\{a;b;c\}\)
• Ereignisraum \(\Omega\) mit Elementarereignissen \(\omega_n\): \(\Omega=\{\omega_0;\omega_1;\omega_2;...\}\)
• Schnittmenge \(C\) von \(A\) und \(B\): \(C=A\cap B\)
• Vereinigungsmenge \(C\) von \(A\) und \(B\): \(C=A\cup B\)
• Gegenereignis \(\overline{A}\) von \(A\): \(\overline{A}=\Omega \backslash A\)
• Wahrscheinlichkeitsverteilung \(P\) von Ereignis \(A\): \(P(A)\)
• Mächtigkeit einer Menge \(A\): \(\mid A\mid: \text{„Anzahl der Elemente in A”}\)

Kolmogorow-Axiome

Axiom = „als absolut richtig erkannter Grundsatz”

1. Nicht-Negativität: \(P(A) \geq 0\)
2. Normierung: \(P(\Omega)=1\)
3. Additivität: \(A\cap B=\varnothing \Rightarrow P(A\cup B)=P(A)+P(B)\)

→ z.B. \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\),
\(P(\overline{A})=1-P(A)\) (bei „3-mal-mindestens-Aufgaben”: \(P(\text{„mindestens einer”})=1-P(\text{„keiner”})\))

Gesetze von de Morgan

\(\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}\)
\(\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}\)

Unabhängige Ereignisse

Bedingte Wahrscheinlichkeit: \(P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\) („P von A unter der Bedingung B”)
Sind die Ereignisse unabhängig voneinander, so müsste das Eintreten von \(B\) nichts an der Wahrscheinlichkeit von \(A\) ändern:
\(P_B(A)=P(A) \Rightarrow P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\)
→ ist diese Gleichung erfüllt, sind \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig, sonst stochastisch abhängig.

Darstellung

Vierfeldertafel (Schnittwahrscheinlichkeiten und totale Wahrscheinlichkeiten):

	\(A\)	\(\overline{A}\)
\(B\)	\(P(A\cap B)\)	\(P(\overline{A}\cap B)\)	\(P(B)\)
\(\overline{B}\)	\(P(A\cap\overline{B})\)	\(P(\overline{A}\cap\overline{B})\)	\(P(\overline{B})\)
	\(P(A)\)	\(P(\overline{A})\)	\(P(\Omega)\)

oder Baumdiagramm (bedingte Wahrscheinlichkeiten)

Zufallsgröße

= Zusammenfassung verschiedener Ereignisse zu einem Wert einer Zufallsgröße (meist \(X, Y, Z\))
→ bspw. Augensumme beim Würfeln

Darstellungsmöglichkeiten:

• Wahrscheinlichkeitsverteilung: \(x\)-\(P(X=x)\)-Tabelle

• Histogramm: Säulendiagramm zur Wahrscheinlichkeitsverteilung (\(x\)-\(P(X=x)\)-Diagramm; Wahrscheinlichkeiten mit Breite 1 LE)
  → auch kumulativ (Aufaddierung der Wahrscheinlichkeiten von 0 bis zum Maximalwert 1 am Ende)

• Erwartungswert (gewichteter Mittelwert) einer Zufallsgröße: \(E(X)=\mu=\sum\limits_{i=0}^n{x_i\cdot P(X=x_i)}\)
  → ein Spiel wird bei \(\mu=0\) als „fair” bezeichnet
• Varianz (mittlere quadratische Abweichung vom Erwartungswert) einer Zufallsgröße: \(Var(X)=\sum\limits_{i=0}^n{P(X=x_i)\cdot (x_i-\mu)^2}\)
  → Maß für die Streuung
  → Einheit \((Einheit)^2\)
• Standardabweichung einer Zufallsgröße: \(\sigma=\sqrt{Var(X)}\)
  → keine quadratische Einheit
  → Einzeichnung in das Histogramm möglich

Ziehen ohne Zurücklegen

Wahrscheinlichkeiten verändern sich bei jedem Ziehen
→ Berechnung mit \(\frac{\text{„Günstige”}}{\text{„Mögliche”}}\) (dafür sind Laplace-Experimente notwendig!)

• Permutation
  • Anzahl der Möglichkeiten eines Zufallsexperiments unter Beachtung der Reihenfolge → Multiplikation der Möglichkeiten in den einzelnen Stufen
  • für \(n\) Elemente gibt es \(n!\) (Fakultät; mit \(0!=1\)) Möglichkeiten, sie anzuordnen
• Kombination
  • Anzahl der Möglichkeiten eines Zufallsexperiments ohne Beachtung der Reihenfolge
  • für „\(k\) aus \(n\)” Elemente gibt es ohne Beachtung der Reihenfolge \(\binom{n}{k}\) Möglichkeiten (Möglichkeiten mit Reihenfolge geteilt durch Möglichkeiten, diese anzuordnen)
    → Binomialkoeffizient: \(\binom{n}{k}=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}\)
    (\(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\); \(\binom{n}{1}=\binom{n}{n-1}=n\); \(\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1\))
• hypergeometrische Verteilung
  • aus Urne mit \(N\) Kugeln (\(S\) schwarze, \(N-S\) weiße) \(n\) Kugeln (\(s\) schwarze, \(n-s\) weiße) ziehen
  • Wahrscheinlichkeit (für \(s\) schwarze und \(n-s\) weiße Kugeln): \(P(X=s)=\frac{\binom{S}{s}\cdot \binom{N-S}{n-s}}{\binom{N}{n}}\)

Ziehen mit Zurücklegen

Wahrscheinlichkeiten über alle Züge hinweg konstant

• n-mal Würfeln: stets dieselbe Wahrscheinlichkeit für jede Zahl, z.B. \(P(\text{„sieben mal die 1”})=(\frac{1}{6})^7\)
• Bernoulli-Experiment:
  • „Bernoulli-Kette” der Länge \(n\) mit zwei möglichen Ergebnissen (Treffer und Niete) und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) (Nietenwahrscheinlichkeit \(q=1-p\))
  • \(X\): Anzahl der Treffer
  • Wahrscheinlichkeit für \(k\) Treffer: \(P_p^n(X=k)=B(n;p;k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot q^{n-k}\)
  • \(\mu=n\cdot p\); \(Var(X)=n\cdot p\cdot q\); \(\sigma=\sqrt{Var(X)}=\sqrt{n\cdot p\cdot q}\)
  • kumulative Wahrscheinlichkeiten (\(P_p^n(X\leq k)=\sum\limits_{i=0}^k{P_p^n(X=i)}\)) im Tafelwerk
  • Binomialverteilung: Histogramm einer Bernoulli-Kette (\(k\)-\(P_p^n(X=k)\)-Diagramm)
    → Maximum um \(\mu\) (bei \(\lfloor\mu \rfloor\) bzw. \(\lceil\mu \rceil\))