Geometrie

Koordinatensystem

besteht aus \(x_1\)-,\(x_2\)- und \(x_3\)-Achsen und acht Oktanten (deren genaue Position man sicher im Internet recherchieren kann)

Vektoren

(= Menge seiner Repräsentanten)
→ bestimmte Richtung und Länge
→ Tripel dreier Koordinaten: \(\vec{a}=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}\)

Besondere Vektoren:

• Nullvektor (Ursprung): \(\vec{0}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)
• Gegenvektor zu \(\vec{a}\): \(-\vec{a}\)
• Ortsvektor: \(\overrightarrow{0A}=\vec{A}\) (vom Ursprung zum eigentlichen Punkt)
• Verbindungsvektor: \(\overrightarrow{AB}=\vec{B}-\vec{A}\) („Spitze minus Fuß”)
• Vektorkette: \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}\)

• Einheitsvektor (Länge 1): \(\vec{a^0}=\frac{1}{\mid\vec{a}\mid}\cdot \vec{a} \Rightarrow\mid\vec{a_0}\mid=1\)

• Länge eines Vektors: \(\mid\vec{a}\mid=\mid\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\mid=\sqrt{a_1\,^2+a_2\,^2+a_3\,^2}\) (Pythagoras im dreidimensionalen Raum)
• Kommutativ- und Assoziativgesetz gelten
• Skalarmultiplikation (\(s \in \mathbb{R}\) ist ein Skalar): \(s\cdot\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} s\cdot a_1 \\ s\cdot a_2 \\ s\cdot a_3 \end{pmatrix}\)
  → mit Assoziativ- und Distributivgesetz
• lineare Abhängigkeit:
  • bei zwei Vektoren: Vielfaches voneinander (\(\vec{a}=r\cdot\vec{b}\))
  • bei drei Vektoren: Linearkombination (\(\vec{a}=r\cdot\vec{b}+s\cdot\vec{c}\))
    (sonst: „linear unabhängig”)

Skalarprodukt

\(\vec{a}\circ\vec{b}=\cdot\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\)

• Winkel zwischen zwei Vektoren: \(\cos(\varphi)=\frac{\vec{a}\circ\vec{b}}{\mid\vec{a}\mid\cdot\mid\vec{b}\mid}\)
• 90°-Winkel wenn \(\vec{a}\circ\vec{b}=0\)

Vektorprodukt/Kreuzprodukt

\(\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_2b_3-a_3b_2 \\ a_3b_1-a_1b_3 \\ a_1b_2-a_2b_1 \end{pmatrix}\)

• rechtshändiges Dreibein (vgl. Rechte-Hand-Regel) → dritter Vektor steht im 90°-Winkel zu den anderen beiden Vektoren
• anti-kommutativ: \(\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}\)
• Winkel zwischen zwei Vektoren: \(\sin(\varphi)=\frac{\vec{a}\times\vec{b}}{\mid\vec{a}\mid\cdot\mid\vec{b}\mid}\)
• Flächeninhalt eines von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) aufgespannten Parallelogramms: \(A_{Par}=\mid\vec{a}\times\vec{b}\mid\)
• Flächeninhalt eines von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) aufgespannten Dreiecks: \(A_\Delta=\frac{1}{2}\mid\vec{a}\times\vec{b}\mid\)
• Volumen eines \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c}\) aufgespannten Spats: \(V_{Spat}=\mid(\vec{a}\times\vec{b})\circ\vec{c}\mid\)
• Volumen einer von \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c}\) aufgespannten, dreiseitigen Pyramide: \(V_{Pyr}=\frac{1}{6}\mid(\vec{a}\times\vec{b})\circ\vec{c}\mid\)
• Volumen einer von \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c}\) aufgespannten Pyramide mit einem Parallelogramm als Grundfläche: \(V_{Pyr}=\frac{1}{3}\mid(\vec{a}\times\vec{b})\circ\vec{c}\mid\)
  → Dreieck und dreiseitige Pyramide in der Formelsammlung

Kugel

• Mittelpunkt \(\vec{M}\), Radius \(r\)
• Oberflächeninhalt: \(A=4\pi\cdot r^2\)
• Volumen: \(V=\frac{4}{3}\pi\cdot r^3\)
• Formel: \(\overline{XM}=r \text{ (Die Strecke von jedem Punkt auf der Kugel bis zu ihrem Mittelpunkt ist so lang wie der Radius.)}\\\\\Rightarrow\mid\overrightarrow{XM}\mid=r\\\\\Rightarrow\sqrt{(m_1-x_1)^2+(m_2-x_2)^2+(m_3-x_3)^2}=r\\\\\Rightarrow(m_1-x_1)^2+(m_2-x_2)^2+(m_3-x_3)^2=r^2\) (Koordinatenform)

Geraden

• Geradengleichung in Parameterform:
  \(g:\vec{X}=\vec{A}+\lambda\cdot\vec{u}\)
  (\(\vec{A}\): Aufpunkt; \(\lambda\): Parameter; \(\vec{u}\): Richtungsvektor)
  → Gerade kann durch einen Aufpunkt und einen Richtungsvektor oder durch zwei Punkte (\(\vec{u}=\overrightarrow{AB}\)) definiert werden

• Geradengleichung kann auch zeilenweise geschrieben werden:
  \(g:\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}\\ \Downarrow\\ (I)\ x_1=a_1+\lambda\cdot u_1\\ (II)\ x_2=a_2+\lambda\cdot u_2\\ (III)\ x_3=a_3+\lambda\cdot u_3\\\)

• Spurpunkte: Schnittpunkte mit den Koordinatenebenen (eine Gleichung gleich \(0\) setzen und erst \(\lambda\), dann den Punkt bestimmen)

Ebenen

• Ebenengleichung in Parameterform:
  \(E:\vec{X}=\vec{A}+\lambda\cdot\vec{u}+\mu\cdot\vec{v}\)
  (\(\vec{A}\): Aufpunkt; \(\lambda\), \(\mu\): Parameter; \(\vec{u}\), \(\vec{v}\): Richtungsvektoren)
  → Gerade kann durch einen Aufpunkt und zwei Richtungsvektoren oder durch drei Punkte (\(\vec{u}=\overrightarrow{AB}\) und \(\vec{v}=\overrightarrow{AC}\)) definiert werden
• Ebenengleichung in Normalenform:
  \(E:\vec{n}\circ(\vec{X}-\vec{A})=0\) (der Normalenvektor muss senkrecht auf dem Verbindungsvektor von einem beliebigen Punkt auf der Ebene und dem Aufpunkt stehen)
  mit \(\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}\)
  → Gerade kann durch einen Aufpunkt und einen Normalenvektor definiert werden
• Ebenengleichung in Koordinationform:
  Normalenform ausmultiplizieren:
  \(E:\vec{n}\circ(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix})=0\\ E:n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3-(n_1a_1+n_2a_2+n_3a_3)=0\\ E:n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3-c=0\)
  • zurück zu Normalenform: Normalenvektor mit Vorfaktoren bestimmen; für den Aufpunkt irgendeinen Punkt, der die Gleichung der Koordinatenform erfüllt, einsetzen
  • zurück zu Parameterform: beliebigen Aufpunkt nehmen; \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) bestimmen, indem (pro Richtungsvektor) eine Koordinate von \(\vec{n}\) gleich \(0\) gesetzt wird, die anderen vertauscht werden und bei einer von diesen das Vorzeichen geändert wird
• Koordinatenebenen: z.B. \(x_1x_2\)-Ebene mit \(\vec{n}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)
• Spurpunkte: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen (in Koordinatenform zwei Variablen gleich \(0\) setzen und die übrige bestimmen)

Lagebeziehungen

Gerade-Gerade

• Richtungsvektoren linear abhängig
  • Aufpunkt einer Gerade auch auf der anderen (zeilenweise einsetzen)
    → identisch
  • Aufpunkt einer Gerade nicht auch auf der anderen (zeilenweise einsetzen)
    → parallel
• Richtungsvektoren linear unabhängig
  • haben Schnittpunkt (zeilenweise gleichsetzen)
    → Schnittpunkt
  • haben keinen Schnittpunkt (zeilenweise gleichsetzen)
    → windschief

Gerade-Ebene

• Schnittpunkt berechnen → „zeilenweise” Geradengleichung in Koordinatenform der Ebene einsetzen
  • allgemeingültige Gleichung
    → Gerade liegt in der Ebene
  • Wert für \(\lambda\)
    → in Gerade einsetzen, um Schnittpunkt zu erhalten
  • Widerspruch (z.B. \(1=0\)) → sind parallel zueinander (schneiden sich nicht)

Ebene-Ebene

• Normalenvektoren linear abhängig
  • Aufpunkt einer Ebene auch in der anderen
    → identisch
  • Aufpunkt einer Ebene nicht auf der anderen
    → parallel
• Normalenvektoren nicht linear abhängig
  → schneiden sich

Schnittwinkel

Vektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) (bei Geraden: Richtungsvektoren; bei Ebenen: Normalenvektoren)
\(\varphi=\arccos(\mid\frac{\vec{u}\circ\vec{v}}{\mid\vec{u}\mid\cdot\mid\vec{v}\mid}\mid)\\\)
Achtung! Zwischen Ebene und Gerade beträgt der Schnittwinkel \(90^\circ-\varphi\)

Abstand Punkt-Gerade

• kürzeste Strecke zwischen Punkt \(\vec{P}\) und Gerade \(g\) ist das Lot auf der Gerade zum Punkt
  → Strecke muss senkrecht auf Richtungsvektor stehen
  → \(\overrightarrow{PX}\circ\vec{u}=0\)
  → ausmultiplizieren → Gerade zeilenweise einsetzen → nach \(\lambda\) auflösen → in Geradengleichung eingesetzt Punkt \(\vec{X}\) herausfinden
  → \(d(P;g)=\mid\overrightarrow{PX}\mid\)

Abstand Punkt-Ebene

Hesse-Normalform (HNF): Normalenvektor muss ein Einheitsvektor sein
→ \(E: \frac{n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3-c}{\mid\vec{n}\mid}=0\)
→ bis auf Vorzeichen eindeutig

Für den Abstand zur Ebene den Punkt in die linke Seite einsetzen:
\(d(P; E)=\frac{n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3-c}{\mid\vec{n}\mid}\)
→ falls positiv, liegt der Punkt auf der Seite von \(\vec{n}\)
→ Abstand ist aber eigentlich der Betrag