Analysis
Differenzieren
Mittlere Änderungsrate
Der Differenzenquotient \(\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) ist die mittlere Änderungsrate.
≙ Steigung der Sekante zwischen \((a|f(a))\) und \((b|f(b) )\)
Lokale Änderungsrate
Lokale Änderungsrate von \(f\) an der Stelle \(a\):
„Differentialquotient” \(\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)
≙ Steigung der Tangente von \(f\) bei \(x=a\) bzw. \(f'(a)\)
→ existiert der Grenzwert (für positives und negatives h), ist \(f\) an der Stelle \(a\) differenzierbar („knickfrei”)
Ableitungsfunktion
Die Ableitungsfunktion \(f'(x)\) ordnet jedem x-Wert von \(f(x)\) die dortige Steigung von f zu.
| \(F\) | Stammfunktion (von \(f\)) |
| \(f\) | (Normal)funktion |
| \(f'\) | Ableitung(sfunktion) (von \(f\)) |
Ableitungsregeln
| Regel | Normalfunktion | Ableitung |
|---|---|---|
| Addition einer Konstante | \(f(x)=g(x)+c\) | \(f'(x)=g'(x)\) |
| Summenregel | \(f(x)=u(x)+v(x)\) | \(f'(x)=u'(x)+v'(x)\) |
| Produktregel | \(f(x)=u(x)\cdot v(x)\) | \(f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)\) |
| Quotientenregel | \(f'(x)=\frac{z(x)}{n(x)}\) | \(f(x)=\frac{„NAZ - ZAN”}{„N^2”}=\frac{n(x)\cdot z'(x)-z(x)\cdot n'(x)}{(n(x))^2}\) |
| Kettenregel | \(f(x)=u(v(x))\) | \(f'(x)=u'(v(x))\cdot v'(x)\) (\(v'(x)\): „Nachdifferenzieren”) |
Integrieren
„Berechnung der Fläche unter \(G_f\)”
→ \(f(x)\) ist die Integrandenfunktion
→ Unter- (\(s_n\)) und Obersumme (\(S_n\)): Fläche mit \(n\) Rechtecken/„Streifen” annähern
→ Fläche unterhalb der x-Achse negativ, oberhalb positiv!
\(\int\limits_a^b f(x) dx\)
(Bestimmtes Integral über \(f(x)\) mit unterer Grenze \(a\) und oberer Grenze \(b\))
= \(\lim\limits_{n \to \infty} s_n\) (Untersumme)
= \(\lim\limits_{n \to \infty} S_n\) (Obersumme)
→ Unter- und Obersumme nähern sich (bei \(n \to \infty\)) demselben Grenzwert an
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Integralfunktion \(I_a(x)=\int\limits_a^x{f(t)dt}\)
→ ergibt abgeleitet die Integrandenfunktion: \(I_a'(x) = f(x)\)
→ Nullstelle bei \(I_a(a)\)
→ jede Integrandenfunktion von \(f\) ist eine Stammfunktion,
aber nur Stammfunktionen mit mindestens einer Nullstelle sind Integrandenfunktionen
→ Die Integration ist die Umkehrung der Differentiation!
Unbestimmtes Integral \(\int{f(x)dx}=F(x)+c\) mit \(c \in \mathbb{R}\)
→ Menge aller Stammfunktionen zu \(f\)
Berechnung des bestimmten Integrals:
\(\int\limits_a^b{f(x)dx}=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)\)
Integrationsregeln
| Regel | Rechnung |
| Abschnittsweise Integration | \(\int\limits_a^b{f(x)dx}+\int\limits_b^c{f(x)dx}=\int\limits_a^c{f(x)dx}\) |
| Vertauschen der Grenzen | \(\int\limits_b^a{f(x)dx}=-\int\limits_a^b{f(x)dx}\) |
| Untere und obere Grenze gleich | \(\int\limits_a^a{f(x)dx}=0\) |
| Summenregel | \(\int{f(x)+g(x)dx}=\int{f(x)dx}+\int{g(x)dx}\) |
| Faktorregel | \(\int{k \cdot f(x)dx}=k \cdot \int{f(x)dx}\) |
| Lineare Transformation | \(\int{f(ax+b)dx}=\frac{1}{a}\cdot F(ax+b)+c\) |
| e-Funktion | \(\int{f'(x)\cdot e^{f(x)}dx}=e^{f(x)}+C\) (auch mit Faktorregel kombinierbar) |
| Brüche | \(\int{\frac{f'(x)}{f(x)}dx}=\ln(|f(x)|)+c\) |
Besondere Funktionen
| Stammfunktion | Normalfunktion | Ableitungsfunktion |
| \(\frac{1}{r+1}\cdot x^{r+1} + c\) | \(x^r\) | \(r\cdot x^{r-1}\) |
| \(-\cos(x)+c\) | \(\sin(x)\) | \(\cos(x)\) |
| \(\sin(x)+c\) | \(\cos(x)\) | \(-\sin(x)\) |
| \(e^x+c\) | \(e^x\) | \(e^x\) |
| \(\ln|x+c|\) | \(\frac{1}{x}\) | \(-x^{-2}\) |
| \(\ln(x)\cdot x-x+c\) | \(\ln(x)\) | \(\frac{1}{x}\) |
| \(\) | \(\) | \(\) |
Steigungswinkel
Für den Winkel zwischen der x-Achse und der Tangente von \(f\) an der Stelle \(a\) gilt:
\(tan(\alpha) = m\)
→ \(\alpha=\arctan(m)=\arctan(f'(a))\)
Monotonie
- \(G_f\) ist s.m.s. (streng monoton steigend) in einem Intervall, wenn \(f'(x)\) dort positiv ist.
- \(G_f\) ist s.m.f. (streng monoton fallend) in einem Intervall, wenn \(f'(x)\) dort negativ ist.
→ Umkehrung gilt nicht (s. \(f'(x)=0\))
Extrema und Terrassenpunkte
\(f'(a)=0\)
| Maximum | \(f'\) wechselt Vorzeichen von + zu - | \(f''(a) < 0\) (rechtsgekrümmt) |
| Minimum | \(f'\) wechselt Vorzeichen von - zu + | \(f''(a) > 0\) (linksgekrümmt) |
| Terrassenpunkt (Sattelpunkt) | \(f'\) hat keinen Vorzeichenwechsel (gerade Nullstelle) | \(f''(a) = 0\) |
→ Vorzeichentabelle von \(f'(x)\) und \(G_f\) (mit Einsetzen bzw. Limites) oder Krümmungsverhalten mit zweiter Ableitung
Symmetrie
- \(f(-x) = f(x)\): achsensymmetrisch zur y-Achse
- \(f(-x) = -f(x)\): punktsymmetrisch zum Ursprung
→ am besten immer erst \(f(-x)\) berechnen
Newton-Verfahren
→ Nullstellen herausfinden (geht aber nicht immer)
Beliebiger Startwert \(x_n\)
→ \(x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\) als bessere Näherung
→ damit als Iterationsformel (geht gut am Taschenrechner) weiterrechnen
Gebrochen-rationale Funktionen
= Bruch mit Polynomen in Zähler und Nenner
waagrechte/schräge Asymptote
| Zählergrad < Nennergrad | waagrechte Asymptote \(y=0\) (x-Achse) |
| Zählergrad = Nennergrad | waagrechte Asymptote (Parallele der x-Achse) |
| Zählergrad = Nennergrad + 1 | schräge Asymptote (lineare Funktion) |
(bei höherem Nennergrad sind auch andere Funktionen möglich)
→ berechenbar mit \(\lim\limits_{x \to \pm \infty}\) oder durch Aufteilen in linearen Summanden und gebrochen-rationalen Summanden (mit Zählergrad < Nennergrad)
Polstelle
Polstelle liegt dort, wo eine Definitionslücke (\(„Nenner” = 0\)) ist
→ z.B. bei Definitionslücke \(x_0\) von \(f\) liegt die Polstelle bei \(x=x_0\) (senkrechte Asymptote)
Achtung: Bei einer (be)hebbaren Definitionslücke (die herausgekürzt werden kann, sodass nur ein „Loch” im Graphen übrig bleibt) gibt es keine Polstelle!
Umkehrbarkeit
„Spiegelung einer Funktion an der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten”
→ bei \(x^2\) ist die Umkehrfunktion \(\sqrt{x}\) (negativer Ast wird ausgelassen!)
Eine Funktion ist in einem Intervall eindeutig umkehrbar, wenn sie in diesem streng monoton steigt bzw. fällt.
→ Berechnung durch Vertauschen von \(x\) und \(y\), dann Umformung.
| Funktion | Umkehrfunktion |
| \(f(x)\) | \(f^{-1}(x)\) |
| \(\mathbb{D}_f\) | \(\mathbb{D}_{f^{-1}}=\mathbb{W}_f\) |
| \(\mathbb{W}_f\) | \(\mathbb{W}_{f^{-1}}=\mathbb{D}_f\) |
e-Funktion und natürlicher Logarithmus
\(e \approx 2,71828\) (irrationale Zahl wie \(\pi\))
(\(e = \lim\limits_{n \to \infty}{(1+\frac{1}{n})^n}\))
→ Besonderheit: Die e-Funktion/natürliche Exponentialfunktion (\(e^x\)) ist ihre eigene Ableitung.
Ableiten: \((e^{f(x)})' = e^{f(x)}\cdot f'(x)\) mit „Sonderfall” \((e^x)' = e^x\)
Der natürliche Logarithmus (logarithmus naturalis) \(\log_e(x)=\ln(x)\) ist die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion \(e^x\).
→ \(\ln(e^x)=x\)
Die e-Funktion steigt sehr schnell, der natürliche Logarithmus sehr langsam.
→ relevant bei Grenzwertaufgaben („e-Funktion gewinnt immer”, „ln verliert immer”)
Weitere Exponentialfunktionen (mit konstanter Basis \(c\)) ableiten:
\((c^x)'=((e^{\ln(c)})^x)'=(e^{\ln(c) \cdot x})'=\ln(c) \cdot e^{\ln(c) \cdot x} = \ln(c) \cdot c^x\)
Krümmungsverhalten
Die zweite Ableitung einer Funktion beschreibt deren Krümmung (= Abweichung von einer Gerade).
- \(f\) ist linksgekrümmt, wenn \(f''\) positiv ist.
- \(f\) ist rechtsgekrümmt, wenn \(f''\) negativ ist.
Wendepunkt
= Punkt, an dem sich das Vorzeichen der Krümmung (\(f''\)) ändert
→ Ort maximaler bzw. minimaler Steigung
(Wendetangente: Steigungstangente am Wendepunkt)
→ \(f''(x)=0\)
→ auf ungerade Nullstelle überprüfen (Vorzeichentabelle → \(f'''(x) \neq 0\))
Flächenberechnung
- mit Annäherung (z.B. geometrische Formen)
- zwischen zwei Funktionen \(f(x)\) und \(g(x)\):
- Schnittpunkte finden: \(f(x)=g(x)\) (z.B. \(x_1=a; x_2=b; x_3=c\))
- abschnittweise integrieren und Beträge addieren: \(A=\mid\int\limits_a^b{f(x)-g(x)dx}\mid+\mid\int\limits_b^c{f(x)-g(x)dx}\mid\)
Integration im Unendlichen
Geometrische Reihe: \(1; \frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{1}{8};\) usw.
→ endlicher Grenzwert: \(\lim\limits_{n \to \infty}\sum\limits_{k=0}^n{\frac{1}{2^k}}=2\)
Integral im Unendlichen kann auch endlich sein:
\(\lim\limits_{n \to \infty}\int\limits_1^n{\frac{1}{x^2}dx}=\int\limits_1^\infty{\frac{1}{x^2}}dx=[-x^{-1}]_1^\infty=\lim\limits_{x \to \infty}{(-\frac{1}{x}-(-\frac{1}{1^1}))=0+1=1}\)
→ zweite Notation ohne Limes geläufig